integral parcijalna integracija

More
9 years 5 months ago #31 by expx2
Evo jedan lijep integral :)

[math] I= int{arcsin(e^x)over e^x} {dx} [/math]= [math] int{ e^x arcsin(e^x)over e^{2x}} {dx} [/math]

smjena [math] e^x=t [/math]
[math] e^xdx=dt [/math]

Sada imamo da je [math] I= int{ arcsintover t^2} {dt} [/math]



Koristeci parcijalnu integraciju imamo da je:

[math] arcsint=u Rightarrow frac {dt}{sqrt(1-t^{2})}=du [/math]

[math] t^{-2}dt= dv Rightarrow frac{-1}{t}=v [/math]


Koristeći parcijalnu integraciju, tj. formulu:

[math] I= vu-int v du [/math]


uvrštavajući [math] v, u i du [/math] u posljednju jednačino imamo:


[math] I= vu-int v du =frac{-1}{t} arcsint+int frac{1}{t} frac {dt}{sqrt(1-t^{2})}+C [/math]


Integral

[math] I_1= int frac{1}{t} frac {dt}{sqrt(1-t^{2})} [/math]

se može riješiti na više načina (mi cemo navesti dva nacina),

jedan od njih je da se uvede smjena:

[math] t= frac {1}{z} [/math]

a drugi je da se uvede smjena:

[math] t= sinz [/math]

Riješimo integral

[math] I_1= int frac{1}{t} frac {dt}{sqrt(1-t^{2})} [/math]

smjenom [math] t= frac {1}{z} Rightarrow dt=frac{-dz}{z^2} [/math]

uvrštavajući [math] t [/math] i [math] dt [/math] u [math] I_1 [/math] imamo da je :

[math] I_1= int frac{-dz}{sqrt(z^{2}-1)} [/math]

Smjenom [math] z=frac {1}{cosu} Rightarrow dz=frac{sinu du}{cos^{2}u} [/math] dobijamo da je

[math] I_1= int frac{-du}{cosu} = -intfrac{du}{cosu} [/math]


Uvodeci poznatu smjenu za trigonometrijske fukcije

[math] tgfrac{u}{2}=w Rightarrow frac{2dw}{1+w^{2}}=du [/math] i [math] cosu=frac{1-w^{2}}{1+w^{2}} [/math]


Uvrstavajuci posljednje transformacije u [math]I_1[/math] dobijamo sledeci integral

[math] I_1=-2intfrac{dw}{1-w^{2}} =2intfrac{dw}{w^{2}-1}=2lnfrac{w-1}{w+1}= 2lnfrac{tgfrac{u}{2}-1}{tgfrac{u}{2}+1}[/math]


Koristeći činjenicu da je

[math] tgfrac{u}{2}=sqrt(frac{1-cosu}{1+cosu})[/math]

i uzimajući u obzir da je

[math]cosu=frac {1}{Z}[/math] i

[math] t= frac {1}{z}[/math]

tj.

[math]cosu=t[/math]

Dobijamo da je

[math] I_1=2lnfrac{sqrt(1-t)-sqrt(1+t)}{ sqrt(1-t)+sqrt(1+t)} [/math]

Uvrštavajući integral [math] I_1 [/math] u integral [math] I_ [/math] i uzimajući u obzir da je [math] e^x=t [/math] mozemo pisati sledece:


[math] I= vu-int v du =frac{-1}{t} arcsint+int frac{1}{t} frac {dt}{sqrt(1-t^{2})}+C=frac{-1}{e^x} arcsine^x+2lnfrac{sqrt(1-e^x)-sqrt(1+e^x)}{ sqrt(1-e^x)+sqrt(1+e^x)} +C [/math]

Please Prijava or Kreiraj račun to join the conversation.

Moderators: Sabrija.pmfexpx2
Time to create page: 0.090 seconds