Cikloide i njoj srodne krive

More
5 years 8 months ago #141 by xy2
Johan Bernuli je 1696. godine postavio jedno interesantno pitanje bratu Jakobu:

“ Koja je ta kriva kojom ce tijelo uz uticaj gravitacione sile stici od tacke A do nize tacke B za najkrace vrijeme?”

Zadatak su od grcke rijeci brachistochrone (koje znaci najkrace vrijeme), nazvali Brahistokronovim problemom. Kod rjesavanja problema dosli su i do zakljucka, da kad pustimo tijelo iz bilo koje tacke ove krive, tijelu ce uvijek trebati istovremeni period da bi stiglo do najnize tacke te krive. Jakob je tacno odgovorio : “Rjesenje je cikloida! “

Jedna od najpoznatijih krivi u istoriji matematike je cikloida. Cikloidu je prvi proucavao de Kusu, kasnije Mersen. Kriva je dobila ime po Galileju 1599. godine. On je pokusao da odredi povrsinu ispod jednog luka, ali bezuspjesno. Matematicki metod nije uspio da pronadje, te je izrezao komadice metala u obliku povrsine ispod cikloide i uporedjivao tezinu sa tezinom kruga koji generise cikloidu. Dosao je do rezultata da je cikloida teza oko tri puta od kruga, ali je on odbio da prihvati ovaj rezultat jer je vjerovao da odnos izmedju ove dvije tezine, treba da bude iracionalan. Ispostavilo se da je Galilejev eksperimenat zaista dao tacan rezultat.

Roberval je 1628. godine odredio povrsinu cikloide koristeci novi metod “beskonačno malih”, koji je razvijen od strane Kavalijerija , Ferma i Dekarta, kao i Robervala, medjutim svaki od njih je pronasao drugaciji metod za povlacenje tangente na ovu krivu. Toriceli, ucenik Galileja je 1644. godine objavio svoje otkrice o povrsinama i tangentama cikloida.

Cikloida je, u tom dobu, bila jedna od najpopularnijih problema matematike, mnogi sporovi i ljubomore su nastale vezani za nju, zato je postala poznata po imenu “Helena geometricara”. U skladu sa Arhimedovom tradicijom, Hajgens, Lajbnic i Johan Bernuli su trazili posebne dojelove regiona cikloide cije su povrsine jednostavnog pravolinijskog oblika.



Data kruznica r poluprecnika a, koja se kotrlja po x osi. Tacka sa njene periferije pri tom kotrljanju opisuje cikloidu.

Neka je tacka O (koordinatni pocetak) pocetni polozaj tacke A (na slici M) koja opisuje cikloidu

t je ugao za koji se kruznica obrnula ( ugao ACB na slici ugao MCQ)

a je poluprecnik kruznice (na slici obiljezen sa r)

Vazi, jer je kotrljanje bez klizanja.

AB=OB=at

Za pretpostavljeni polozaj tacke A, koordinate su

x = OB - OE
y = CB - CE
E je tacka koja je na slici obiljezena sa N.

Sa slike vidimo da vazi
AE = a sint
CE =a cost
Odakle se dobijaju parametarske jednacine cikloide

x=a(t- cost)

y= a(1 - cos t )

Jedan svod cikloide je dio krive koju posmatrana tacka opisuje sa jednim obrtajem kruga.


Duzina luka jednog svoda cikloide je L= 8a, gdje je a poluprecnik kruga.

Povrsina ogranicena jednim lukom cikloide i osom Ox je P=3a2π

Zapremina tijela nastalog rotacijom jednog luka cikloide oko ose Ox je 5a3π2
gdje je a poluprecnik kruga.

Please Prijava or Kreiraj račun to join the conversation.

Moderators: xy2
Time to create page: 0.091 seconds