grafik funkcije

More
9 years 5 months ago #33 by expx2
grafik funkcije was created by expx2
Nacrtati grafik funkcije

[math] y=xe^{\frac{1}{x}} [/math]

[math]1. [/math] Definiciono područje

[math] x\ne0 \Rightarrow x\in(-\infty,0)\cup(0,\infty)[/math]



[math]2. [/math] Nule i znak funkcije


[math] y=xe^{\frac{1}{x}} [/math]
[math] y=0\Rightarrow [/math]

[math]1. x=0 [/math] i

[math]2. e^{\frac{1}{x}}=0 [/math]

Funkcija [math] e^{\frac{1}{x}} [/math] je uvijek pozitivna za svako x, tako da jedino rješenje jednačine [math] y=xe^{\frac{1}{x}} [/math] je

[math]x=0 [/math] , međutim, s obzirom da funkcija nije definisana u toj tačci slijedi da funkcija nema nula.

Na sledećoj slici dat je tabelarni pikaz znaka funkcije.





Dakle

[math] f(x)< 0 [/math] za [math] x\in(-\infty,0)[/math]
[math] f(x)>0 [/math] za [math] x\in(0,\infty)[/math]


[math]3. [/math] Parnost i neparnost funkcije




Ukoliko je [math]f(-x)=f(x) [/math] funkcija je parna
Ukoliko je [math]f(-x)=-f(x) [/math] funkcija je neparna
A ukoliko je [math]f(-x)\ne f(x) [/math] funkcija nije ni parna ni neparna


U nasem slucaju imamo da je
[math]f(-x)=-xe^{\frac{1}{-x}}\ne f(x) [/math]

Znaci funkcija nije ni parna ni neparna

[math]4. [/math] Asimptote

Asimptote nalazimo trazeci granicne vrijednosti funkcije na krajevima intervala definisanosti.

1. vertikalna asimptota

[math]y= \lim_{x\ \to \0_-}xe^{\frac{1}{x}} [/math]

[math]{\frac{1}{x}=t;x\ \to \0_- \Rightarrow t\ \to -\infty [/math]

[math]y= \lim_{ t\ \to -\infty} \frac{e^{t}}{t}=0_- [/math] [math]\Rightarrow[/math]
funkcija nema vetikalnu asimptotu kad [math]y= {x\ \to \0_-}[/math]










[math]y= \lim_{x\ \to \0_+}xe^{\frac{1}{x}} [/math]

[math]{\frac{1}{x}=t;x\ \to \0_+ \Rightarrow t\ \to +\infty [/math]

[math]y= \lim_{ t\ \to +\infty} \frac{e^{t}}{t}= +\infty [/math]




Na osnovu izracunatih limesa zakljucujemo da funkcija ima vertikalnu asimptotu kada x tezi ka nuli sa desne strane i to je [math]x=0_+[/math], dok kad x tezi ka nuli sa lijeve strane funkcija nema vertikalnu asimptotu.


1. horizontalna asimptota


[math]y= \lim_{x\ \to -\infty}xe^{\frac{1}{x}}= -\infty [/math]
[math]y= \lim_{x\ \to +\infty}xe^{\frac{1}{x}}= +\infty [/math]

Funkcija nema horizontalnih asimptota.

3. Kosa asimptota

[math]y= kx+n [/math]

[math]k= \lim_{x\ \to -\infty}\frac{xe^{\frac{1}{x}}}{x}= \lim_{x\ \to -\infty} xe^{\frac{1}{x}=1[/math]

[math]y= kx+n [/math][math] \Rightarrow [/math] [math]n=y-kx [/math] odnosno


[math]n= \lim_{x\ \to -\infty}(y-kx)=\lim_{x\ \to -\infty}(xe^{\frac{1}{x}}-x) =\lim_{x\ \to -\infty}x(e^{\frac{1}{x}}-1)[/math]


[math]{\frac{1}{x}=t;x\ \to -\infty \Rightarrow t\ \to 0_- [/math]

[math]n=\lim_{t\ \to 0_-}\frac{e^{t}-1}{t}=1[/math]

Dakle imamo [math]y= x+1 [/math] kad [math] x\ \to -\infty[/math]

Na analogan nacine se dobije [math]y= x+1 [/math] kad [math] x\ \to +\infty[/math]

Prema tome imamo da je kosa asimptota [math]y= x+1 [/math]


4. Ekstremi i monotonost


[math]y'=e^{\frac{1}{x}}\frac{x-1}{x} [/math]

Ekstremnu tacku nalazimo kada je [math]y'=0[/math] [math]\Rightarrow [/math] [math]x_{ex}=1[/math]

Funkcija za [math]X=1[/math] ima ekstrem, ali jos uvijek ne znamo da li je max ili min.

Ukoliko je [math]y''(x=x_{ex})>0[/math] onda funkcija u [math]x=x_{ex}[/math] ima minimum,a ukoliko je [math]y''(x=x_{ex})<0[/math] onda funkcija u [math]x=x_{ex}[/math] ima maximum. To cemo pilije ispitati kada nađemo drugi izvod funkcije.
Tabelarni prikaz monotonosti funkcije:





[math] f'(x)< 0 [/math] za [math] x\in(0,1)[/math]
[math] f'(x)>0 [/math] za [math] x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)[/math]

5.Prevojne tacke, konkavnost i konveksnost

[math]y'=e^{\frac{1}{x}}\frac{x-1}{x} [/math]

[math]y''=\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} [/math]





[math] f''(x)> 0 [/math] za [math] x\in(0,+\infty)[/math]
[math] f''(x)< 0 [/math] za [math] x\in(-\infty,0)[/math]

[math] f''(x=x_{ex})>0[/math] [math]\Rightarrow [/math] funkcija ima minimum u tačci [math]x=1[/math], a vrijednost [math]y[/math] za [math]x=1[/math] je [math] f(1)=e [/math].
Minimum funkcije je u [math](x,y)=(1,e)[/math]

6. Grafik funkcije

Please Prijava or Kreiraj račun to join the conversation.

Moderators: xy2
Time to create page: 0.108 seconds