Ovaj interesantan elementaran problem može se naći u Arhimedovoj "Knjizi o lemama". Obućarski nož ili arbelos je oblast ograničena pomoću tri polukruga koji se međusobno dodiruju kao što je to prikazano na slici. Kako je Arhimed odredio površinu arbelosa ?

 

[file w=550 h=320]/java/osmi/arbelos.html[/file]

 

Klikni na tačku C i pomjeraj je lijevo desno, šta primjećuješ Undecided

 

Arhimed je pokazao da ako je CD duž normalna na AB čije je jedno tjeme tačka dodira krugova C a druga tačka D leži na najvećem polukrugu, tada je površina kruga prečnika CD jednaka površini arbelosa.

 

 

 

 

Slijedi dokaz...

 

Trougao ABD je pravougli jer je ugao u tjemenu D jednak 90°. Tada je:

 

(|AC| + |CB|)2 = |AD|2 + |DB|2 = |AC|2 + |DC|2 + |CB|2 + |DC|2

 

 

Iz gore napisanog slijedi da je:

|DC|2 = |AC| · |CB|

 

 

Neka Pa i Pk označavaju površine arbelosa i kruga sa prečnikom CD. Na osnovu gornje relacije dobijamo:

 

Pa = Π/8 |AB|2 - Π/8 |AC|2 - Π/8 |CB|2 = Π/8 ((|AC| + |CB|)2 - |AC|2 - |CB|2) = Π/4 |AC| · |CB| = Π/4 |CD|2 = Pk

 

 

 

Dokazanooooo Laughing

 

Share this post
FaceBook  Twitter